Tuluat Ustası Naşit Bey'in torunu ve tiyatrocu Selim Naşit Özcan ile Rum Sotiriya Hanım'ın oğludur.

1971 yılında Gönül Ülkü - Gazanfer Özcan Tiyatrosu'nda yönetmenliğini Ferih Egemen'in yaptığı Ben Çalmadım adlı çocuk oyunuyla ilk kez sahneye çıktı. 1977 yılında Akbank Çocuk Tiyatrosu'nda profesyonel tiyatro hayatı başladı. 1979-80 döneminde Ali Poyrazoğlu Tiyatrosu'nun açtığı kurslarda tiyatro eğitimi aldı.

Akbank Çocuk Tiyatrosu, Nejat Uygur Tiyatrosu (1980-1983), Şan Müzikholü, Abdullah Şahin Tiyatrosu gibi muhtelif tiyatrolarda çalışan Naşit Özcan, 1988'de İstanbul Şehir Tiyatroları'na katıldı ve pek çok oyunda rol üstlendi. 1994 yılında Gözlerimi Kaparım Vazifemi Yaparım adlı oyunda Vicdani rolüyle, 2000 yılında Kadın ile Memur adlı oyunda Memur rolüyle Afife Jale Ödülleri'ne en iyi erkek oyuncu dalında aday oldu. Çeşitli TV, sinema ve reklam filmlerinde rol alan Naşit Özcan, tiyatronun yanı sıra seslendirme çalışmaları da yapmaktadır.

2014-2015 yılları arasında Kurtlar Vadisi Pusu adlı dizide 9. sezon başından 247. bölüme kadar rol almıştır. "Ötesiz İnsanlar" dizisinde Korgeneral rolünü canlandırmıştır.