Buğra Özmüldür oyunculuk hayatına 9 yaşında Sinan Çetin'in çektiği Çamlıca Gazoz reklamı ile başlamıştır. Daha sonra Reklam Özdenetim Kurulu'nun bir kampanya reklamında oynamıştır. Buradaki oyunculuğu Sihirli Annem'in ilk yönetmeni Ersoy Güler tarafından beğenilir ve Cem karakteri için Buğra Özmüldür uygun kişi olarak görülür. "Sihirli Annem" devam ederken yine Sinan Çetin'in yönettiği Tansaş reklamında oynayan Buğra Özmüldür, "Sihirli Annem" bittikten sonra "Selena" dizisinde 1 bölüm konuk oyunculuk yapmıştır. "Adı Efsane" dizisinde "Faruk" rolünü canlandırmıştır. Marmara Üniversitesi İngilizce Mütercim Tercümanlık Bölümü mezunudur. 2013 yılında "Perde" isimli kısa metraj filmde Kutay Denizler ve Burak Babayiğit'in yönetmenliğinde "Baran Kara" isimli karakteri canlandırmıştır. 2015 Nisan ayında "Senden Bana Kalan" adlı sinema filminde "Menfi" karakterini canlandırmıştır. Son olarak 2015 sonlarında vizyona giren, senaryosunu Sadi Celil Cengiz'in yazıp başrolünde oynadığı "Olaylar Olaylar Mevzu Çarşamba" adlı sinema filminde oyuncu yönetmenliği ve oyunculuk yapmıştır.