Alper Kul Müjdat Gezen Sanat Merkezi'nde aldığı eğitimin ardından Indiana Üniversitesi Tiyatro Bölümü'nden mezun oldu. Şehir Tiyatroları ve BKM gibi oluşumlarda yer aldı. Çeşitli sinema ve dizi filmlerde yer alan Kul'un beyazperdedeki ilk deneyimi; Ferzan Özpetek'in 97 yapımı Hamam filmi oldu. Televizyondaki ilk deneyimi ise, Yılan Hikayesi'ydi. 2009'da Broadway tarihinde sahnelenen en uzun tek kişilik oyun olan Caveman'i Türkiye'de sergiledi.2011'de başlayan "5'er Beşer" adlı komedi tiyatro programından sonra "İnsanlar Alemi" ve "Güldür Güldür" adlı programların proje tasarımlarını yaptı ve bunlarda oynadı.  İnsanlar Alemi programındaki rol arkadaşı Aylin Kontente ile evlendi.